Igualdad y Semejanza


UtilesTrazados Fund.TriángulosPolígonosIgualdad y Semejanza
Potencia. Eje RadicalHomologia y AfinidadTangenciasEnlaces, Óvalos, EspiralesCónicas

Igualdad. Semejanza. Equivalencia. Proporcionalidad y Escalas.

  • Igualdad
  • Semejanza
  • Simetría
  • Proporcionalidad
  • Equivalencia
  • Escalas





  • 1) Igualdad.

    Dos figuras son iguales cuando tienen sus lados iguales y sus ángulos iguales,

    de tal forma que si se superponen coinciden.

    Construcción de figuras iguales.

    a) Descomposición en triángulos.( método de triangulación). Fig. 114

    Fig. 114

    Es el método más preciso, ya que consiste en trasladar triángulos..

    Descomponemos la figura en tres triángulos.

    Llevamos sobre una recta uno de los lados por ejemplo el AB.

    Construimos el triángulo ABE = A’B’E’.

    Completamos el ejercicio construyendo los triángulos BDE = B’D’E’ y BCD = B’C’D’

    b) Construcción de una figura igual a otra por el método de ángulos. Fig. 115.

    Fig. 115

    Al utilizar el compás para el traslado de los ángulos, este método es menos preciso que el anterior.

    Sea la figura ABCDE.

    Consiste en transportar los ángulos y los segmentos que componen el polígono.

    c) Construcción de una figura igual a otra por el método de coordenadas. Sea el polígono ABCD. Fig. 116.

    Sea el polígono ABCD.

    Hacemos pasar una recta cualquiera por el vértice A.

    Fig. 116

    Partiendo de la figura original, se trazan los ejes X e Y, haciéndolos coincidir con los vértices D y A.

    Se trazan perpendiculares al eje X por los vértices restantes C y B, hasta obtener los puntos, O, 1, 2,

    Para construir la figura se dibujan dos ejes coordenados X e Y.

    Sobre el eje X, y haciendo uso del compás, se llevan los puntos obtenidos O’,1’,A’, 2’

    Levantamos perpendiculares al eje X, y obre ellas, se llevan las coordenadas, O’D’, 1’C’, 2’B’

    d) Construcción de una figura igual a otra por radiación. Fig. 117.

    Fig. 117

    Sea la figura ABCD.

    Elegimos un punto cualquiera O de la figura ABCD.

    Unimos todos los vértices con dicho punto.

    Elegimos otro punto cualquiera O’ y trasladamos los ángulos α, β, µ.

    Medimos los segmentos OA, OB etc. y los y trasladamos.

    2) Semejanza

    Dos figuras son semejantes, cuando teniendo el mismo número de lados, estos son proporcionales y los ángulos formados entre ellos son iguales.

    La razón existente entre dos figuras semejantes se llama, razón de semejanza.

    A) Dada la poligonal A, B, C, D, E. y el centro de homotecia “O”. Hallar la figura semejante cuya razón de semejanza sea 1/3. Fig. 118.

    Fig. 118

    Se unen todos los vértices con el centro de homotecia “O”.

    Uno de dichos segmentos se divide en tantas partes como indique el denominador, es decir tres.

    Seguidamente a partir de “O” se toman tantas divisiones como indique el numerador es decir, una.

    Por el extremo de dicha  división se trazan paralelas a los lados  de la poligonal, obteniendo los vértices A’. B’. C’. D’, E’

    a) Dada la poligonal A, B, C, D, E. y el centro de homotecia “O”. Hallar la figura semejante cuya razón de semejanza sea 3/5. Fig. 119.

    Se unen todos los vértices con el centro de homotecia  “O”.

    Uno de dichos segmentos se divide en tantas partes como indique el denominador, es decir cinco.

    Fig. 119

    Seguidamente a partir de “O” se toman tantas divisiones como indique el numerador es decir, tres.

    Por el extremo de dicha  división se trazan paralelas a los lados  de la poligonal, obteniendo los vértices A’. B’. C’. D’, E’

    3) Simetría

    Se dice que dos puntos son simétricos respecto a otro, tomado como centro, cuando estando contenidos en una recta que pasa por en punto centro, sus distancias al mismo son iguales.

    En la figura los puntos B y B‘ son simétricos con respecto al centro O. Fig. 120.

    Dos puntos son simétricos con respecto a un eje, cuando tomados sobre una perpendicular al mismo sus distancias son equidistantes. Fig. 121.

    Fig. 120

    Fig. 121

    Los puntos A y A’ son simétricos con respecto al eje YY’.

    Dos líneas son simétricas, cuando lo son todos sus puntos. Cuando se trata de segmentos rectilíneos bastará con que sean los extremos de los mismos.

    Para trazar un segmento A’B’, simétrico de otro AB, bastará con trazar por los extremos de dichos segmentos rectas perpendiculares al eje YY’, y transportar las distancia que separa cada punto del eje. Fig. 122.

    Fig. 122

    Existen figuras en las que se dispone de varios ejes de simetría. En la figura el eje YY’ es un eje principal y el XX’ es secundario. Fig. 123.

    Fig. 123

    4) Proporcionalidad.

    a) Teorema de Thales

    Si una familia de rectas paralelas r, s, t, son cortadas por dos rectas oblicuas a ellas, u, v, los segmentos en que estas últimas cortan a las primeras serán proporcionales. Fig. 124.

    Fig. 124

    a/b = c/d = f/g

    b) División de un segmento en un número determinado de partes iguales. Fig. 125.

    Sea el segmento AB.

    En el extremo A se traza una recta con una inclinación arbitraria.

    Sobre dicha recta se llevan tantas divisiones iguales y de longitud arbitraria como partes se quiera dividir el segmento AB, por ejemplo siete divisiones, 1’, 2’, 3’ etc. utilizando el compás.

    Fig. 125

    Se une la ultima división 7 con el extremo B.

    Seguidamente se trazan paralelas a la recta 7’ B por el resto de las divisiones.

    Dichas paralelas nos determinan los puntos de división 1, 2, 3, 4 etc. del segmento AB.

    c) Tercera proporcional de dos segmentos ( primer procedimiento). Fig. 126

    Sean los segmentos a y b

    Trazamos dos rectas cualquiera r y s.

    Sobre un de ellas, por ejemplo la s, se llevan los segmentos a y b.

    Fig. 126

    Sobre la otra recta se lleva el segmento b.

    Unimos el extremo de a con el extremo de b, recta u.

    Por el extremo de b se traza una paralela a u hasta que corte a r.

    El segmento x será la tercera proporcional.

    d) Tercera proporcional de dos segmentos ( segundo procedimiento). Fig. 127.

    Trazamos dos rectas cualquiera r y s.

    Por el extremo  A, llevamos los segmentos a y b.

    Unimos el extremo de a con el extremo de b.

    Haciendo centro en A, trazamos un arco que corte a la recta s en el punto B.

    Por B trazamos una paralela a la recta anterior.

    Fig. 127

    El segmento x será la tercera proporcional buscada.

    e) Cuarta proporcional de tres segmentos. Fig. 128.

    Sean los segmentos a, b, y c.

    A partir de A trazamos dos restas arbitrarias r y s.

    Sobre una de las rectas, por ejemplo la r, llevamos los segmentos a y b.

    Fig. 128

    Sobre la recta s, llevamos el segmento c.

    Unimos los extremos a y c, recta u.

    Por el extremo de b, trazamos una paralela a u hasta que corte a s.

    El segmento x será la cuarta proporcional.

    f) Dividir un segmento en partes proporcionales a otros. Fig. 129.

    Sean los segmentos AB, a, b, c, y d.

    En el extremo de A, trazamos una recta arbitraria.

    Fig. 129

    Sobre el extremo A, llevamos los segmentos a, b, c y d, uno a continuación del otro.

    Unimos la última división con el extremo B.

    Por los extremos de a, b y c, trazamos paralela a la recta anterior, obteniendo los segmentos a’, b’,c’, d’, proporcionales a los dados.

    g) Media proporcional de dos segmentos dados. ( primer procedimiento). Fig. 130.

    Para su construcción aplicaremos el Teorema de Euclides, conocido también como Teorema de la Altura.

    Este dice: La altura de un triángulo rectángulo respecto a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la misma.

    a / x = x / b                x2  =  a * b

    Fig. 130

    Sean los segmentos a y b y una recta r cualquiera.

    Elegimos un punto cualquiera de dicha recta por ejemplo A.

    Llevamos a partir de dicho punto el segmento a y a continuación el b.

    Hallamos la mediatriz del segmento AC, y trazamos la semicircunferencia que pase  por dichos extremos de AB.

    La perpendicular trazada por B nos determina el segmento x media proporcional buscada.

    g) Media proporcional de dos segmentos dados. ( segundo procedimiento). Fig. 131.

    En este segundo procedimiento aplicaremos el Teorema del Cateto.

    Este dice: En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del mismo sobre ella. Fig. 131.

    a / x = x / b                           x2  =  a * b

    Fig. 131

    Sean los segmentos a y b y una recta r cualquiera.

    Elegimos un punto cualquiera de la recta  r por ejemplo A.

    A partir de A llevamos el segmento a y el b.

    Trazamos la circunferencia que pase por A y B

    Levantamos por C una perpendicular hasta que corte a la semicircunferencia en D.

    La unión de D con A, nos determina la media proporcional x.

    5) Equivalencia

    Se dice que dos figuras son equivalentes, cuando sus superficies son iguales, aunque su forma sea distinta.

    a) Dado un triángulo A, B, C, cualquiera dibujar otro equivalente. Fig. 132.

    Fig. 132

    Teniendo en cuenta que la superficie de un triángulo es su base por la altura. Si no variamos estos dos elementos, podremos obtener infinitos triángulos.

    Trazamos una recta cualquiera -s - paralela a uno de los lados, por ejemplo al lado – BC

    Cualquier punto de la recta – s- unido con – AB - determina un triángulo equivalente al dado.

    b) Dado un polígono cualquiera de vértices a, b, c, d, f, g, dibujar otro con dos lados menos. Fig. 133.

    Nos basamos en el ejercicio anterior.

    Unimos el vértice –D - con – B –

    Fig. 133

    Trazamos por C una paralela al lado  – DB – y  donde se corte con la prolongación del lado – AB nos determina el punto - B’-.

    Unimos – B’ – con –D - y tenemos un lado menos.

    Repetimos la operación con los vértices A, G, F.

    c) Dibujar el cuadrado equivalente al triángulo, A, B, C. Fig. 134.

    Bastará con resolver una pequeña ecuación:

    Superficie del cuadrado Sc = L*L

    Superficie del triángulo   St = ½ b * h

    Fig. 134

    Igualamos las áreas L*L = ½ h * b

    De acuerdo con lo anterior, hallamos el segmento media proporcional entre la mitad de la altura del triángulo su base.

    El segmento – CF- será el lado que buscamos.

    b) Dado un pentágono A, B, C, D, E, dibujar el triángulo equivalente. Fig. 135.

    Unimos el vértice – C - con – E

    Prolongamos el lado -AE –

    Trazamos  por D la paralela – D E’.

    Unimos –C- con –E’-.

    Fig. 135

    Repetimos la operación para el triángulo -ABC-.

    5.1. Sección áurea de un segmento

    Fig. 136

    Denominamos sección áurea del segmento AC, a la

    división que se produce en el mismo, de tal forma que la relación existente entre la parte mas pequeña y la mas grande es la misma que la existente entre la mas grande y su totalidad. Fig. 136.

    a/x = x/b

    a) Hallar la división áurea de un segmento dado. Fig. 137.

    Sea el segmento AB.

    Fig. 137

    Por el extremo B, trazamos una recta perpendicular.

    Sobre dicha perpendicular llevamos la mitad del segmento  AB, punto m, que corta a la perpendicular en C.

    Unimos A con C, y haciendo centro en C y con radio CB, trazamos un arco que corta a la recta AC en D.

    Por último, con centro en A trazamos el arco AE, parte áurea

    del segmento AB.

    b) Dado un cuadrado, dibujar el rectángulo áureo. Fig. 138.

    El rectángulo cuyos lados están relacionados según la proporción áurea, se denomina rectángulo áureo.

    Fig. 138

    Este es un rectángulo especial armonioso en sus proporciones. Los egipcios conocían esta proporción y la usaron en arquitectura. Los Griegos también la usaron en sus construcciones, por ejemplo El Partenón. Las dimensiones del D.N.I, están en proporción áurea. En España, en la Alhambra, el Escorial y otros muchos

    edificios se ha tenido en cuenta. Fig. 139.

    Partimos de un cuadrado cualquiera de lado 2 unidades vértices A, B, C, D.

    Fig. 139

    Hallamos la mediatriz del lado que valdrá 1, punto m. Se demuestra fácilmente que m C, vale  √5. Haciendo centro en m, trazamos un arco, que corta a la prolongación de lado en D. El segmento AD será igual a 1+ √ 5 , por tanto la proporción entre los dos lados vale (1+ √ 5) /2 = 1,61803. A este número se le llama Número de oro.

    Lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de pentágono y el lado.

    c) Dado del rectángulo, hallar el otro, de tal forma que estén en proporción áurea. Fig. 140.

    Partimos del lado AB del rectángulo

    Hallamos su mediatriz, punto m.

    Fig. 140

    Trazamos la perpendicular en el extremo A y B.

    Haciendo centro en B, trazamos el arco mC.

    Unimos A con C.

    Haciendo centro en C, trazamos el arco BD.

    Y por último haciendo centro en A, trazamos el arco AD, que nos determina el lado menor del rectángulo áureo.

    5.2. Escalas

    Denominamos escala,  E al cociente entre las dimensiones de un objeto en el dibujo Md y las correspondientes del mismo en la realidad Mr.

    E = Md / Mr

    Las escalas pueden ser:

    Ampliación si E > 1

    Reducción si E < 1

    Natural si E = 1

    Escalas normalizadas:

    Aunque con fines puramente teóricos trabajaremos con cualquier escala, en el dibujo de planos o piezas industriales, las escalas normalizadas son las siguientes:

    Reducción: 1:2, 1: 5, 1:10, 1:50, 1:100, 1:500, 1:1000, etc.

    Ampliación: 2:1, 5:1 y 10:1

    a) Construcción de la escala 2:3. Fig. 141.

    Para su construcción tendremos en cuenta que 2 unidades del dibujo serán tres en la realidad, por tanto se trata de una escala de reducción. 2/3= 0,6666 <1

    Fig. 141

    Sobre una recta cualquiera llevamos 2 cm.

    Dividimos dicha recta en 3 partes iguales.

    Cada una de las divisiones corresponderá a 1 cm. a escala 2/3.

    Para apreciar las décimas construiremos la constraescala.

    c) Escalillas numérico gráficas. Fig. 142.

    Se consiguen por medio de un cálculo numérico

    Vamos a realizar una escala cualquiera, por ejemplo la 1/40.  es decir 1m. en el dibujo serán 40 en la realidad.

    1/40 = 0,025 m = 2,5 cm

    Fig. 142

    Es decir 2,5 cm del dibujo serán 100 = 1 m,  en la realidad.

    Para su construcción llevamos sobre una recta unidades de 2,5 cm. La contraescala se realiza de la forma vista anteriormente

    d) Construcción de la escala 1/200. Fig. 143.

    Se opera de forma similar, con la salvedad de la elección de la unidad que representemos en el papel.

    1/200 = 0,005 m

    Fig. 143

    Elegiremos 1000 cm  = 10 m. como unidad a representar.

    1/200 = 0,005 m * 1000 = 5 cm

    Es decir que cada 5 cm en el papel serán 10 m. en la realidad.

    5.3. Ejercicios de aplicación.

    a) Hallar el producto de los segmentos a y b dados considerando como unidad el cm. Fig. 144.

    Debe cumplirse la siguiente proporción 1/a = b/x,

    Fig. 144

    Para ello sobre una recta se lleva la unidad de medida 1 cm y a continuación el segmento a.

    Por el extremo de a trazamos una recta cualquiera,  llevando sobre ella el segmento b.

    Se une b con d trazando  seguidamente la paralela ce, que nos da a x b.

    b) Representar el segmento a/b siendo a y b dos segmentos dados. Se considera como unidad el cm. Fig. 145.

    El ejercicio es similar al anterior, debe cumplirse la siguiente  proporción a / b = x / 1

    Fig. 145


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